もうちょっと写像

像、逆像、全単射、逆写像について

像、逆像

現代数学では写像を使って集合の関係を考えるということをします。そのひとつが像と逆像です。

像

いままでは写像で送るものとして考えていたのは集合の元だけでした。ただ、元の集まりが全体としてどこに送られるのかということも考えられます。それがその写像による集合の像と呼ばれるものです。

いま、 $X,\ Y$ を集合とし、 $X$ から $Y$ への写像 $f:\ X\to Y$ を考えます。
このとき、 $A$ を $X$ の部分集合とし、これのそれぞれの元を写像 $f$ で送ったもの全体を考えると、これは $Y$ の部分集合となっています。これを $f$ による $A$ の像といい、 $f(A)$ と書きます。
数式で書くと $f(A):=\{f(a)\in Y|a\in A\}$ です。

$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像でいくつか例を挙げてみましょう。
$\sin([0,\fr{\pi}{6}])=[0,\fr{1}{2}]$
$\cos([0,\pi))=(-1,1]$
$\exp(\mathbb{R})=(0,\infty)$

逆像

像は集合を定義域から値域へ送るものでしたが逆に集合を値域から定義域へと引き戻すことを考えます。それが逆像と呼ばれるものです。

像のときと同様に $X,\ Y$ を集合とし、 $X$ から $Y$ への写像 $f:\ X\to Y$ を考えます。
このとき、 $B$ を $Y$ の部分集合とし、写像 $f$ で送ると $B$ の元になるような $X$ の元全体の集合を考えます。これを $f$ による $B$ の逆像といい、 $f^{-1}(B)$ と書きます。
数式で書くと $f^{-1}(B):=\{x\in X|f(x)\in B\}$ です。

これについても $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像でいくつか例を挙げてみましょう。

$f(x)=x^2$ としたとき $f^{-1}([0,1])=[-1,1],\ f^{-1}((0,1])=[-1,0)\cup(0,1]$
$f(x)=e^x$ としたとき $f^{-1}((-\infty,0])=\empty$
$f(x)=0$ としたとき $f^{-1}(\{0\})=\mathbb{R}$

逆写像

逆写像とは、ある写像によって定義域から値域へ送られた元を、そのまま値域から定義域へ送り返すような写像です。像や、逆像はどんな写像によるどんな部分集合に対しても定まりましたが、逆写像はどんな写像に対しても存在するわけではありません。

写像 $f:\ X\to Y$ によって $x$ が $y$ に送られたとき、すなわち $y=f(x)$ となっているとき、逆写像は $y$ を $x$ に送るような写像です。 $f$ の逆写像を $f^{-1}$ と書きます。すなわち、 $f^{-1}(y)=x$ です。(ここでは慣習に従い逆像と同じ記号を使っていますが逆像と逆写像は別物なので注意してください。)

写像 $f$ から逆写像を構成するには $y\in Y$ に対して $f$ による ${y}$ の逆像 $f^{-1}(\{y\})$ の要素を対応させれば良いのですが、これが写像になるとは限りません。これが $Y$ から $X$ への写像になるためには全ての $Y$ の元に対して $X$ の元が唯一つだけ定まらなければならないからです。 $f$ が逆写像を持つためには全射、単射という２つの条件を満たさなければなりません。

全射

$f:\ X\to Y$ が逆写像を持つための条件の１つ目は全射です。 $Y$ から $X$ への写像は"全ての $Y$ の元に対して" $X$ の元を定めなければなりません。すなわち、さきほどの構成でいくと $f^{-1}(\{y\})$ が空集合であってはいけないのです。すなわち
全ての $y\in Y$ に対してある $x\in X$ が存在して $y=f(x).$
が成り立たなければなりません。これが $f:\ X\to Y$ が全射であることの定義です。これを言い換えると定義域全体の像が値域全体になっているということにもなります。つまりこれは $f(X)=Y$ とも書けます。

単射

全射によって全ての $y\in Y$ に対して $X$ の元が定められそうなことは分かりましたが、写像はさらに"唯一つだけ" $X$ の元が定められなければなりません。その条件が単射です。すなわち先ほどの構成では $f^{-1}(\{y\})$ の要素の個数がただ１つであることを意味します。

$x,x'\in f^{-1}(\{y\})$ とします。すなわち、 $f(x)=f(x')=y$ です。このとき $x=x'$ となっていなければ $f^{-1}(\{y\})$ の要素の個数が２つ以上になってしまいます。逆に、全ての $x,\ x'$ について $x=x'$ ならば $f^{-1}(\{y\})$ の要素の個数が唯一つであると言えます。

ここで、全射とは独立の概念にするために $f^{-1}(\{y\})$ を持ちださないでこのことを表すと
全ての $x,x'\in X$ に対して、 $f(x)=f(x')$ ならば $x=x'.$
となります。これが $f:\ X\to Y$ が単射であることの定義です。

全単射

写像 $f:\ X\to Y$ が全射かつ単射のとき $f$ は全単射であるといいます。このとき、必ず逆写像 $f^{-1}:\ Y\to X$ が存在します。

恒等写像による定義

写像 $\mathrm{id}_X:\ X\to X$ を $\mathrm{id}(x)=x$ と定義すると(これを恒等写像(identity mapping)といいます)、
$f^{-1}\ci f=\mathrm{id}_X,\ f\ci f^{-1}=\mathrm{id}_Y$ が成り立ちます。これをみたすものとして逆写像を定義することも出来ます。

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