表現行列の練習問題

表現行列の練習問題の解説です

表現行列の練習問題1

ベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_2=\{ ax^2 + bx + c | a,b,c\in \mathbb{R} \}$ を実数係数の２次以下の多項式全体とする。
線形写像 $T:\mathbb{R}[x]_2 \to \mathbb{R}[x]_2}$ を
$T(f)=\frac{df}{dx}$
とするとき、基底 $\{ 1, x, x^2 \}$ に関する $T$ の表現行列を求めよ。

解答

写像 $\varph : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}[x]_2$ を
$\varph \left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)=a_1+a_2\cdot x+ a_3\cdot x^2$ $\left(=(1,x,x^2)\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\right)$
と定めると、これは $\mathbb{R}^3$ の標準基底に $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\{ 1, x, x^2 \}$ を対応させる線形写像である。

上の図式より、線形写像 $\varph^{-1}\cir T\cir\varph:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ の行列表示を求めればよい。

$\varph^{-1}\cir T\cir\varph$ による標準基底 $\{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \}$ の移り先を考えると

$\varph^{-1}\cir T\cir\varph(\mathbf{e}_1)=\varph^{-1}\cir T(1 )=\varph^{-1}(0 )=\left(\begin{array}0\\0\\0\end{array}\right),$
$\varph^{-1}\cir T\cir\varph(\mathbf{e}_2)=\varph^{-1}\cir T(x )=\varph^{-1}(1 )=\left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right),$
$\varph^{-1}\cir T\cir\varph(\mathbf{e}_3)=\varph^{-1}\cir T(x^2)=\varph^{-1}(2x)=\left(\begin{array}0\\2\\0\end{array}\right).$

よってこれらを横に並べた $\left(\begin{array}0& 1& 0\\0& 0& 2\\0& 0& 0\end{array}\right)$ が求める表現行列である。∎

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