表現行列の練習問題

表現行列の練習問題の解説です

表現行列の練習問題2

線形写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ を
$f\left(\begin{array}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}x_1-x_2\\2x_1+x_2\\x_1\end{array}\right)$
とするとき、基底 $\{ \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\2\end{array}\right)\},$ $\{ \left(\begin{array}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right)\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

解答

写像 $\varph : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を
$\varph \left(\begin{array}a_1\\a_2\end{array}\right)=a_1\left(\begin{array}1\\0\end{array}\right)+a_2\left(\begin{array}1\\2\end{array}\right)$ $\left(=\left(\begin{array}1&1\\0&2\end{array}\right)\left(\begin{array}a_1\\a_2\end{array}\right)\right)$
と定めると、これは $\mathbb{R}^2$ の標準基底 $\{ \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\1\end{array}\right)\}$ に $\mathbb{R}^2$ の基底 $\{ \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\2\end{array}\right)\}$ を対応させる線形写像である。

また、写像 $\ps : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を
$\ps \left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)$ $=a_1 \left(\begin{array}0\\1\\0\end{array}\right)+a_2\left(\begin{array}0\\0\\1\end{array}\right)+ a_3\left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right)$ $\left(=\left(\begin{array}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\right)$
と定めると、これは $\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{ \left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\0\\1\end{array}\right)\}$ に $\mathbb{R}^3$ の基底 $\{ \left(\begin{array}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right)\}$ を対応させる線形写像である。

よって基底 $\{ \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\2\end{array}\right)\},$ $\{ \left(\begin{array}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}1\\0\\0\end{array}\right)\}$ に関する $f$ の表現行列は線形写像 $\ps^{-1}\cir f\cir\varph:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ の標準基底に関する行列表示となる。

$\ps^{-1}\cir f\cir\varph$ による標準基底 $\{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ の移り先を考えると

$\ps^{-1}\cir f\cir\varph(\mathbf{e}_1)=\ps^{-1}\cir f( \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right))=\ps^{-1}(\left(\begin{array}1\\2\\1\end{array}\right))=\left(\begin{array}2\\1\\1\end{array}\right),$
$\ps^{-1}\cir f\cir\varph(\mathbf{e}_2)=\ps^{-1}\cir f( \left(\begin{array}1\\2\end{array}\right))=\ps^{-1}(\left(\begin{array}-1\\4\\1\end{array}\right))=\left(\begin{array}4\\1\\-1\end{array}\right).$

$\left(\ps^{-1}\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\right.$ $\left.=\left(\begin{array}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\right)$

よってこれらを横に並べた $\left(\begin{array}2& 4\\1& 1\\1& -1\end{array}\right)$ が求める表現行列である。∎

補足

$f,\varph,\ps$ それぞれの標準基底に関する表現行列がすぐに分かるので、
$\ps^{-1}\cir f\cir\varph\left(\begin{array}x_1\\x_2\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)^{-1}$ $\left(\begin{array}1&-1\\2& 1\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}1&1\\0&2\end{array}\right)\left(\begin{array}x_1\\x_2\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}2& 4\\1& 1\\1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}x_1\\x_2\end{array}\right)$
と求めてもよい。

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