基底とは？

線形代数における重要な概念である基底について説明します。

基底についてもっと詳しく

線形写像 $\varphi :\,\mathbb{R}^n\map V$ が全単射になるための条件

線形写像 $\varphi :\,\mathbb{R}^n\map V$ を表す方法は分かりましたが、重要なのは $\mathbb{R}^n$ とVを一対一対応させることでした。すなわち $\varphi\,$ を全単射にしなければなりません。したがって、 $\varphi\,$ が全射、単射になる条件をそれぞれ調べてみましょう。

全射になる条件

全射とは
$\forall \mathbf{y} \in V, \exists \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n s.t. \ \mathbf{y}=\varphi (\mathbf{x})$
が成り立つことでした。ここで
$\displaystyle \mathbf{x}=\sum_{i=1}^na_i\,\mathbb{e}_i$
とおくと
$\displaystyle \forall \mathbf{y} \in V, \exists a_1,\ ... \ ,a_n \in \mathbb{R} \ s.t. \ \mathbf{y}=\sum_{i=1}^na_i \,\varphi \left(\mathbb{e}_i\right)$
となります。このことをベクトル空間Vは $\varphi (\mathbb{e}_1),\,...\, ,\varphi (\mathbb{e}_n)$ によって生成されるといいます。

単射になる条件

単射とは
$\forall \mathbf{x},\ \mathbf{x}' \in \mathbb{R}^n , \ \varphi \left( \mathbf{x} \right) =\varphi \left( \mathbf{x}' \right) \Rightarrow \mathbf{x} = \mathbf{x}'$
が成り立つことでした。ここで
$\displaystyle \mathbf{x}=\sum_{i=1}^na_i\,\mathbb{e}_i,\ \mathbf{x}'=\sum_{i=1}^na'_i\,\mathbb{e}_i$
とおくと
$\displaystyle \varphi \left( \mathbf{x} \right) - \varphi \left( \mathbf{x}' \right) = \sum_{i=1}^n \left( a_i - a'_i \right) \ \varphi \left( \mathbb{e}_i \right)$
$\displaystyle \mathbf{x} - \mathbf{x}' = \sum_{i=1}^n \left( a_i - a'_i \right) \ \mathbb{e}_i$
となるので、 $k_i=a_i-a_i'$ とおくと
$\displaystyle \forall k_1,\ ...\ ,k_n \in \mathbb{R} , \ \sum_{i=1}^n k_i \varphi \left( \mathbb{e}_i \right) = \mathbb{0}\Rightarrow k_1=...=k_n=0$
となります。これを $\varphi (\mathbb{e}_1),\,...\, ,\varphi (\mathbb{e}_n)$ は一次独立であるといいます。

基底の定義

先ほどのページで説明したとおり、ベクトル空間の基底とは、線形写像 $\varphi :\,\mathbb{R}^n\map V$ が全単射のとき $\mathbb{e}_1,\,...\, ,\mathbb{e}_n$ の行き先 $\varphi (\mathbb{e}_1),\,...\, ,\varphi (\mathbb{e}_n)$ の集合 $\left{ \varphi (\mathbb{e}_1),\,...\, ,\varphi (\mathbb{e}_n) \right}$ のことです。

ここで $\mathbf{v}_i =\varphi \left( \mathbb{e}_i \right)$ とおくと、このことは次のように言い換えられます。

集合 $\left{ \mathbf{v}_1,\,...\, ,\mathbf{v}_n \right}$ がベクトル空間Vの基底であるとは以下の２つの条件を $\mathbf{v}_1,\,...\, ,\mathbf{v}_n$ が満たしていることである:

$\mathbf{v}_1,\,...\, ,\mathbf{v}_n$ がVを生成する。すなわち、
$\displaystyle \forall \mathbf{y} \in V, \exists a_1,\ ... \ ,a_n \in \mathbb{R} \ s.t. \ \mathbf{y}=\sum_{i=1}^na_i \ \mathbf{v}_i.$
$\mathbf{v}_1,\,...\, ,\mathbf{v}_n$ が一次独立である。すなわち、
$\displaystyle \forall k_1,\ ...\ ,k_n \in \mathbb{R} , \ \sum_{i=1}^n k_i\ \mathbf{v}_i = \mathbb{0}\Rightarrow k_1=...=k_n=0.$

1.は $\varphi$ が全射であることに、2.は $\varphi$ が単射であることに対応しています。

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