ベクトル空間
写像について説明したのでいよいよ線形写像について説明しようと思いますが、そのまえにベクトル空間を説明しなければなりません。線形写像というのは線形性をもつ写像のことなのですが線形写像の定義域と値域はどんな集合でも良いというわけではありません。線形写像の定義域と値域はベクトル空間というものでなければならないのです。そこで、今回はベクトル空間について説明します。
ベクトル空間とは
ベクトル空間というのは、足し算とスカラー倍ができるような集合のことです。イメージとしては、高次元の真っ直ぐな空間です。はじめのうちは次元が低い真っ直ぐな空間である直線や平面をイメージすると良いかもしれません。正確には、ベクトル空間の公理という以下の8つの条件を満たしているような集合のことをいいます。そしてベクトル空間の要素のことをベクトルと呼びます。高校で習うベクトルは正確には幾何ベクトルと言い、これから扱うベクトル空間の一種です。
集合Vが以下の条件を満たしているときVを(K上の)ベクトル空間と呼びます。
Kを体(たい: 割り算が出来るような集合。実数、複素数などがあてはまる。)として任意にu,v,w∈V,a,b∈Kを取ります。
- 結合法則 (u+v)+w=u+(v+w)
- 交換法則 u+v=v+u
- 零元の存在 ある0∈Vが存在して任意のvに対してv+0=0
- 逆元の存在 任意のv∈Vに対して(-v)∈Vが存在してv+(-v)=0
- 分配法則1 a(u+v)=au+av
- 分配法則2 (a+b)v=av+bv
- 結合法則 a(bv)=(ab)v
- 単位元の存在 1v=v (1∈K)
はじめの4つは足し算についての性質、最後の2つはスカラー倍についての性質です。そのあいだの2つの分配法則は、足し算とスカラー倍との関係を定めています。
ベクトル空間というのはひじょうに抽象的で様々な集合がベクトル空間となりえます。抽象的なものは理解するのが大変なのですが抽象的であるということはそれだけ応用範囲が広いということです。なんと、この8つの条件を満たすものならどんな集合でもベクトル空間として扱えるのです。どのようなものがベクトル空間といえるのかベクトル空間の具体例を挙げてみましょう。(気になる方は8つの条件を満たすかどうかを確かめてみてください。)
数ベクトル空間
ベクトル空間の例のうち計算がしやすく、ひじょうに重要なものがこの数ベクトル空間です。
数ベクトル空間とは、
や、
のようにいくつかの数の組を表したもので、今のように実数が３つ並んだものならその全体の集合を
と書きます。ベクトル空間というからには、これにも足し算とスカラー倍が定まっていなければなりません。
足し算は
スカラー倍は
と定義します。また、数がいくつ並んでも同様に計算できます。そして数がいくつ並んでいるかが次元となります。たとえば今の
なら3次元です。これを使うといくら高い次元の計算でも簡単に出来てしまいます。
多項式空間
多項式全体の集合もベクトル空間とみなすことができます。
例えば2次以下の多項式全体の集合
を考えると、
和を
スカラー倍を
と定義することで自然にベクトル空間となります。
今回のまとめ
- ベクトル空間とは足し算やスカラー倍といった演算ができるような集合のことである。
- ベクトル空間の要素をベクトルと呼ぶ。
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