加法定理と回転行列

回転行列から三角関数の公式を導出します。

加法定理と回転行列

高校数学でお馴染みの三角関数の加法定理。今回は行列のちょっとした応用として行列の積を用いることによって三角関数の加法定理を導きたいと思います。

平面 $\mathbb{R}^2$ において点を $\th$ 回転させる写像は回転行列
$\left(\begin{array}\cos\th&-\sin\th\\\sin\th&\cos\th\end{array}\right)$
で表されます。

よって、点を $(\al+\be)$ 回転させる行列は
$\left(\begin{array}\cos(\al+\be)&-\sin(\al+\be)\\\sin(\al+\be)&\cos(\al+\be)\end{array}\right)$
となります。

一方、 $(\al+\be)$ 回転させることは $\be$ 回転させてから $\al$ 回転させることと同じです。そしてこのことは、合成写像、すなわち行列の積で表されます。よって
$\left(\begin{array}\cos\al&-\sin\al\\\sin\al&\cos\al\end{array}\right)\left(\begin{array}\cos\be&-\sin\be\\\sin\be&\cos\be\end{array}\right)$
と表されます。

したがって
$\left(\begin{array}{cc}\cos(\al+\be)&-\sin(\al+\be)\\\sin(\al+\be)&\cos(\al+\be)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}\cos\al&-\sin\al\\\sin\al&\cos\al\end{array}\right)\left(\begin{array}\cos\be&-\sin\be\\\sin\be&\cos\be\end{array}\right)$
となりますが、ここで右辺を計算すると
$\left(\begin{array}{cc}\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be&-(\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be)\\\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be&\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be\end{array}\right)$
となります。よって
$\left(\begin{array}\cos(\al+\be)&-\sin(\al+\be)\\\sin(\al+\be)&\cos(\al+\be)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be&-(\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be)\\\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be&\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be\end{array}\right)$
となります。

したがってなんと、三角関数の加法定理
$\left[\begin{array}\sin(\al+\be)&=&\sin\al\cos\be+\cos\al\sin\be\\\cos(\al+\be)&=&\cos\al\cos\be-\sin\al\sin\be\end{array}\right.$
が導かれました。∎