行列の和とは

行列の和の意味について説明します。

行列の和

行列の和とは

行列とは数ベクトル空間のあいだの線形写像を表したもののことでした。その行列の和とはいったい何なのでしょうか。 2つの線形写像 $f,g:\ \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ の和 $f+g$ は次のように定義されます。

任意の $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ に対して,
$(f+g)(\mathbf{x}):=f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x})$
が成り立つ。

この $f+g$ もちゃんと線形写像となっています。
これを行列で考えるとどうなるのでしょうか。 $f,g:\ \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ の場合で考えてみましょう。
$f(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\mathbf{x},\$
$g(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\mathbf{x}$
とおきます。 $f+g$ も線形写像でしたので定義域の標準基底 $\mathbb{e}_1,\ \mathbb{e}_2$ の行き先が分かれば $f+g$ の全ての行き先が分かります。

ここで写像の和の定義を用いると
$(f+g)(\mathbb{e}_1)$
$=f(\mathbb{e}_1)+g(\mathbb{e}_1)$
$=\left(\begin{array}{cc}a_{11}\\a_{21}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}b_{11}\\b_{21}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11}\\a_{21}+b_{21}\end{array}\right)$
同様にして
$(f+g)(\mathbb{e}_2)$
$=f(\mathbb{e}_2)+g(\mathbb{e}_2)$
$=\left(\begin{array}{cc}a_{12}\\a_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}b_{12}\\b_{22}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{cc}a_{12}+b_{12}\\a_{22}+b_{22}\end{array}\right)$

これらを横に並べれば
$(f+g)(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{array}\right)\mathbf{x}$
となります。結局、行列の和は
$\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{array}\right)$
と各成分を足せば良いことが分かりました。行列の差やスカラー倍についても同様です。

次のページではなぜこのような定義をするのかと疑問に思う方の多い、行列の積について解説します。

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