核空間像空間

カーネルイメージとはなにか

核空間像空間

核空間像空間は線形写像に対して決まる、ある部分空間のことであり、核空間は定義域の部分空間、像空間は値域の部分空間のひとつです。これらは、写像の重要な性質である単射・全射と深い関係があります。

核空間像空間とは

$V,W$ をベクトル空間、 $f:V\to W$ を線形写像とします。

このとき、 $f$ の定義域 $V$ の部分集合
$f^{-1}(\mathbf{0}):=\{\mathbf{x}\in V|f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\}$
を $f$ の核空間(kernel カーネル)といい、 $\rm{Ker}f$ と書きます。
核空間 Kernel カーネル
↑核空間の図

また、 $f$ の値域 $W$ の部分集合
$f(V):=\{f(\mathbf{x}) \in W|\mathbf{x}\in V\}$
を $f$ の像空間(image イメージ)といい、 $\rm{Im}f$ と書きます。
像空間 Image イメージ
↑像空間の図

核空間、像空間はそれぞれ $V,W$ の部分空間となっています。

核空間像空間と単射全射の関係

$f:V\to W$ を線形写像としたとき、以下の関係が成り立ちます。

$f$ が単射 $\Leftrightarrow \rm{Ker}f=\{\mathbf{0}\}$
$f$ が全射 $\Leftrightarrow \rm{Im}\ f=W$

全射については全射の定義通りですが、ここで注目して欲しいのは単射の方です。

本来なら $\rm{Ker}f=f^{-1}(\mathbf{0})$ だけではなく、全ての $\mathbf{w}\in W$ の引き戻し $f^{-1}(\mathbf{w})$ が一点集合であることを確かめなければならないのですが、線形写像は、その線形性という良い性質により $\rm{Ker}f$ を調べるだけで単射かどうか分かってしまいます。

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