核空間 像空間

カーネル イメージとはなにか

核空間 像空間

核空間 像空間は線形写像に対して決まる、ある部分空間のことであり、核空間は定義域の部分空間、像空間は値域の部分空間のひとつです。 これらは、写像の重要な性質である単射・全射と深い関係があります。

核空間 像空間とは

をベクトル空間、 を線形写像とします。

このとき、 の定義域 の部分集合

の核空間(kernel カーネル)といい、 と書きます。
核空間 Kernel カーネル
↑核空間の図

また、 の値域 の部分集合

の像空間(image イメージ)といい、 と書きます。
像空間 Image イメージ
↑像空間の図

核空間、像空間はそれぞれ の部分空間となっています。

核空間 像空間と単射 全射の関係

を線形写像としたとき、以下の関係が成り立ちます。

  • が単射
  • が全射

全射については全射の定義通りですが、ここで注目して欲しいのは単射の方です。

本来なら だけではなく、全ての の引き戻し が一点集合であることを確かめなければならないのですが、線形写像は、その線形性という良い性質により を調べるだけで単射かどうか分かってしまいます。

Next : ランクとは