行列の標準型とは？

線形代数の1つの到達目標である行列の標準型について説明します。

行列の標準型

基底の変換と表現行列

ある線形写像 $f:\ V\to V$ に対して、その表現行列 $f_A:\ \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ は $V$ の基底を与えるごとに一意に決まります。そこで $V$ の基底を与える写像 $\varph :\ \mathb{R}^n\map V$ と $\ps :\ \mathb{R}^n\map V$ を取ったときに、その基底によって表現行列はどう変わるかということを考えます。

写像 $\varph ,\ \ps$ によって決まる $f$ の表現行列をそれぞれ $A,\ B$ とします。

このとき、 $\varph$ から $\ps$ への基底の変換行列を $P$ とすると以下のような可換図式になります。

よって以下の図式の青い矢印と、赤い矢印は同じ写像を表します。

すなわちこれは、 $B=P^{-1}AP$ となることを表しています。

行列の相似と標準型

基底を取り替えることによって $f$ の表現行列は $B=P^{-1}AP$ と変化することが分かりました。それは、逆に言うと正則行列 $P$ が存在して $B=P^{-1}AP$ の形で書けるとき行列 $A$ と $B$ は基底は違えども、同じ写像 $f$ を表しているということになります。そういう意味でこの2つの行列は"同じである"と考えることができます。これを行列の相似といいます。

ここで、相似な行列を持ってくれば同じ写像を表現できるならば、出来るだけ計算がしやすく、写像の性質が分かりやすいものを使うと便利です。そのような便利な行列を標準型といいます。例えば対角行列なども行列の標準型の1つです。

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