一次独立かどうかを見分けるには

次のベクトルの組は一次独立であるか

一次独立の判定

ベクトルの組が与えられたとき、それが一次独立であるかどうかを判定する簡単な方法を紹介します。

(例題) 次のベクトルの組は一次独立であるか判定せよ

$\begin{array} 1\\0\\1\\1 \end{array}$ $,\ $\begin{array} 1\\-1\\1\\0 \end{array}$$ $,\ $\begin{array} 1\\1\\1\\2 \end{array}$$

(解答)

まず、与えられたベクトルを横に並べた行列をつくます。この場合は
$\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}$
です。この行列のrank(階数)を計算して、ベクトルの本数に一致すれば一次独立であることが分かります。反対にrankがベクトルの本数よりも小さければ一次従属です。

今回の行列は
$\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}$ $\right $\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}$$
と基本変形できるのでrankは2です。これはベクトルの本数3本よりも小さいので今回のベクトルの組は一次従属であると分かります。

なぜこの方法で判定できるのか

写像 $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4,\$ $$\begin{array} k_1\\k_2\\k_3\end{array}$\to$ $\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\) $\begin{array} k_1\\k_2\\k_3\end{array}$
を考えると
$\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}$ $\begin{array} k_1\\k_2\\k_3\end{array}$ $=k_1\(\begin{array} 1\\0\\1\\1 \end{array}$$ $+ k_2$\begin{array} 1\\-1\\1\\0 \end{array}$$ $+ k_3$\begin{array} 1\\1\\1\\2 \end{array}$$
より、これらのベクトルが一次独立であることは $\rm{Ker}f=\{\mathbf{0}\}$ と言い換えられます。よって $\rm{Ker}f$ の次元が0かどうかを調べれば良いことになります。次元公式によって $\rm{dim}\ \rm{Ker}f=n-\rm{rank}f$ (nは定義域の次元の数) であるので行列のランクを調べれば一次独立かどうか判定できます。